ANOTACIÓN 2012 Serie 1 No 7: 22 de febrero, 2012

ANOTACIÓN 2012 Serie 1 No 7: 22 de febrero, 2012

VIPERS: Especificaciones para la primera generación de prototipos.

El “Problema de Catering de Servilletas”

Fuente:  “An Illustrated Guide to Linear Programming” de Saul I. Gass

El problema:

Un servicio de catering quiere determinar cuántas servilletas debe comprar y cuantas sucias debe mandar para lavar de forma que tenga suficientes servilletas para cumplir con un cliente que tiene un “tea party” los siete días de la semana. El servicio quiere lograr un equilibrio apropiado entre las compras de nuevas servilletas y el lavado de las usadas para minimizar el costo total de su gasto de servilletas.

El plan requiere que se adapte la técnica de investigación de operación conocida como “programación lineal” al problema del servicio de catering de forma que una vez que sea optimizado el flujo de servilletas, extender el análisis a otros elementos de las operaciones del servicio, como por ejemplo el flujo de comida, de bebidas, de invitados, etc.

Recolecta de datos respecto a una semana típica:

Se precisa de una fase inicial de recolecta de data para determinar lo que sería una semana típica en cuanto al número de personas atenderían el “tea party” cada día de la semana es:

1. lunes – 5.

2. martes – 6.

3. miércoles – 7.

4. jueves - 8.

5. viernes – 7.

6. sábado – 9.

7. domingo – 10.

Gastos:

La compra de una servilleta nueva puede lograrse el mismo día deseado y entregado a tiempo con un costo de 25 centavos de dólar por servilleta; la entrega es gratis. Hay dos lavanderías en el área que han sido puestas a prueba y aprobadas. La lavandería “Rey” puede lavar una servilleta en dos días y cobran 15 centavos de dólar por servilleta; mientras que la lavandería “Princesa” tarda tres días y cobra 10 centavos de dólar por servilleta. Suponiendo que hemos quemado todas servilletas viejas y no tenemos ninguna a mano, tenemos que construir un modelo de programación lineal para la data de forma que cada día para cada “tea party” de la semana se entreguen las servilletas adecuadas con un costo mínimo para la empresa.

Anotación:

Primero vamos a formular nuestra anotación. Dejemos que n₁, n₂, n₃, n₄, n₅, n₆, n₇ representen el número de servilletas nuevas que se vayan a comprar el lunes, el martes, el miércoles, etc., hasta el séptimo día de la semana, domingo. Las servilletas que se mandarán a la lavandería Rey cada día de la semana se denotarán por r₁, r₂, r₃, r₄, r₅, r₆, r₇ y las servilletas que se mandarán a la lavandería Princesa cada día de la semana se denotarán por p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆, p₇; finalmente representaremos por s₁, s₂, s₃, s₄, s₅, s₆, s₇ las servilletas usadas (sucias) que no se mandaron a lavar cada día de la semana. Queremos minimizar el costo total de mantener el inventario apropiado de servilletas limpias puesto que no es económico comprar más servilletas de las que se necesiten para el mismo día, o mandar a lavar una servilleta al menos que sea usada en un tiempo futuro.

Formulación:

Lunes:

Para el primer día de la operación, o sea para el lunes, debemos comprar exactamente el número de servilletas que precisamos. Puesto que esperamos cinco invitados, concluimos que

n₁ = 5.

Al final de la fiesta del lunes, podemos escoger mandar todas o algunas de las 5 servilletas sucias a la lavandería rápida Rey (y cara), a la lavandería lenta Princesa (y barata), o dejarlas que permanezcan sucias en el lavandero. Lo que sucede con estas cinco servilletas puede ser representada por la ecuación:

r₁ + p₁ + s₁ = 5

                El costo total del primer día de operaciones (lunes) es de:

25n₁ + 15r₁ +10p₁

El problema consiste en determinar exactamente cuáles valores numéricos asignar a las variables del programa –  hasta ahora tenemos r₁, p₁, s₁ y n₁, con n₁ = 5. Una vez que tengamos todas ecuaciones correspondientes a nuestro plan, los procedimientos computacionales de la programación lineal pueden aplicarse para encontrar la solución de mínimo costo. Después desarrollamos el resto de las restricciones del modelo, recordando que las servilletas lavadas estarán devueltas al sistema en dos o tres días dependiendo de cual servicio de lavandería se empleó: las servilletas del Rey del primer día (lunes) se enviarán el lunes y regresarán a tiempo para ser usadas el miércoles, mientras que las del la lavandería Princesa estarán listas para el jueves. También las servilletas que no se manden a lavar el lunes pueden ser enviadas al día siguiente.

Martes:

Ninguna de las servilletas que se manden a lavar estaría listas para el martes, por lo tanto para ese día, debemos comprar el número requisito de servilletas, o sea:

n₂ = 6.

Después de que estas servilletas hayan sido usadas (o sea, las servilletas del martes), las acciones tomadas de disponer de estas 6 servilletas, y el montón de servilletas sucias del lunes s₁, se describe con la siguiente ecuación:

r₂ + p₂ + s₂ = n₂ + s₁

Puesto que n₂ = 6, quedamos con:

r₂ + p₂ + s₂ = 6 + s₁

La última ecuación indica que ahora tenemos un stock de servilletas que incluye las sucias s₁ del lunes y seis más del martes que pueden o ser lavadas o apartadas en el montón de servilletas sucias. El costo de la operación del martes es:

(25n₂ + 15r₂ + 10p₂) centavos de dólar

Miércoles:

                Para el evento del miércoles se precisan 7 servilletas. Este es el primer día en el cual las servilletas lavadas del lavado rápido de Rey pueden integrarse al servicio del cliente. Por lo tanto las 7 servilletas requeridas pueden obtenerse o por compra y/o mediante la cantidad enviada al servicio de lavado rápido de Rey el primer día (lunes). Por lo tanto tenemos:

n₃ + r₁ = 7

Igual que antes tenemos:

r₃ + p₃ + s₃ = n₃ + s₂

Puesto que n₃ = 7, quedamos con:

r₃ + p₃ + s₃ = 7 + s₂

Y el costo de la operación del miércoles es:

(25n₃ + 15r₃ + 10p₃) centavos de dólar

Jueves:

Las ocho servilletas que se precisan para el jueves pueden ser servilletas nuevas o servilletas lavadas que han sido devueltas del envío de servilletas sucias del martes a la lavandería del Rey o del envío de servilletas sucias del lunes enviada a la lavandería de la Princesa; esto se representa por:

n₄ + r₂ + p₁ = 8

Con

r₄ + p₄ + s₄ = 8 + s₃

y un costo los jueves de

(25n₄ + 15r₄ + 10p₄) centavos de dólar;

                Ahora podemos continuar para escribir el resto de las ecuaciones de nuestro modelo de forma directa. Vamos a suponer para los propósitos de la discusión presente que estamos interesados en una forma eficiente de catering para solamente una semana de “tea parties”, y por lo tanto, ningún envío de lavandería será llevado a cabo si no puede ser devuelto para usar el domingo, el último día de la semana.

Viernes:

A continuación para el viernes tenemos las siguientes ecuaciones:

n₅ + r₃ + p₂ = 7

r₅ + s₅ = 7 + s₄  

{Nota aclaratoria: la lavandería Princesa no se emplea a partir del jueves porque tarda 3 días en devolver el encargo, y no estaría sino para el lunes y por lo tanto fuera del dominio de nuestro modelo.} 

Con un costo de:

(25n₅ + 15r₅) centavos de dólar;

Sábado:

Y para el sábado:

n₆ + r₄ + p₃ = 9

s₆ = 9 + s₅  

Con un costo de:

(25n₆) centavos de dólar;

Domingo:

Y para el domingo:

n₇ + r₄ + p₄ = 10

s₆ = 10 + s₆  

Con un costo de:

(25n₇) centavos de dólar.

Tabla de decisiones:

Cada día el servicio de catering tiene varias decisiones que tomar para abastecer a las necesidades de servilletas para su cliente en sus “tea parties”:

1)      Comprar servilletas nuevas (n);

2)      Enviar servilletas usadas a la lavandería Rey (r);

3)      Enviar servilletas a la lavandería Princesa (p);

4)      Dejar las servilletas para el montón de la ropa sucia (s).

Resumen de decisiones y eventos:

servilletas	lunes	martes	miércoles	jueves	viernes	sábado	domingo
Comprar nuevas	n1 = 5	n2= 6	n3	n4	n5	n6	n7
Enviar a Rey	r1	r2	r3	r4	r5	r6 = 0	r7 = 0
Enviar a Princesa	p1	p2	p3	p4	p5 = 0	p6 = 0	p7 = 0
Dejar sucias	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7
Lavadas	0	0	r1	r2  + p1	r3 + p2	r4 + p3	r5 + p4
Total	t1 = 5	t2 = 6	t3 = 7	t4 = 8	t5 = 7	t6 = 8	t7 = 10

Resumiendo:

                Juntando las anteriores ecuaciones, vemos que el problema consiste en encontrar los valores correspondientes a las variables n, r, p, y s (estos valores tienen que ser números enteros o cero, es decir, números no-negativos) las cuales minimicen el costo de la función:

25 (n₁+ n₂+ n₃+ n₄+ n₅+ n₆+ n₇) + 15 (r₁+ r₂+ r₃+ r₄+ r₅) + 10 (p₁+ p₂+ p₃+ p₄) y satisfaga las siguientes ecuaciones lineales:

TABLA DE ECUACIONES LINEALES PARA RESOLVER EL PROBLEMA DEL SERVICIO DEL CATERING
FACTORES	n	r	p	s		No de servilletas	s
1	n1				=	5
2	n2				=	6
3	n3	+ r1			=	7
4	n4	+ r2	+ p1		=	8
5	n5	+ r3	+ p2		=	7
6	n6	+ r4	+ p3		=	9
7	n7	+ r5	+ p4		=	10
8		r1	+ p1	+ s1	=	5
9		r2	+ p2	+ s2	=	6	+ s1
10		r3	+ p3	+ s3	=	7	+ s2
11		r4	+ p4	+ s4	=	8	+ s3
12		r5		+ s5	=	7	+ s4
13				s6	=	9	+ s5
14				s7	=	10	+ s6

Solución optima:

Resueltas las anteriores ecuaciones lineales se verifica que por un costo mínimo de $8.80, con solamente 21 servilletas nuevas compradas, se puede servir a un total de 52 huéspedes durante el periodo de la semana descrita.

COMPRAS Y ENCARGOS PARA UNA SEMANA TÍPICA DEL PROBLEMA DE CATERING PARA EL TEA PARTY
lunes	n1 = 5			s1 = 0
martes	n2 = 6			s2 = 0
miércoles	n3 = 6	r1 = 0		s3 = 0
jueves	n4 = 3	r2 = 0	p1 = 5	s4 = 0
viernes	n5 = 0	r3 = 1	p2 = 6	s5 = 2
sábado	n6 = 0	r4 = 3	p3 = 6	s6 = 9
domingo	n7 = 0	r5 = 5	p4 = 5	s7 = 10
Totales	21	9	22	21

Costo total: 21 x 0.25 + 9 x 0.15 + 22 x 0.10 = $8.80

Los mecanismos algebraicos de la solución las dejamos aparte. Aún con las simplificaciones descritas (ej.: limite de una semana de operaciones) aquí el lector puede apreciar el valor pragmático de la disciplina de investigación operativa (en este caso empleando el método de “programación lineal”) en la toma de decisiones para minimizar costos y a la vez cumpliendo con los requisitos de un problema real.

CONCLUSIÓN:

La meta de VIPERS, con el estudio del campo de la Investigación Operativa, consiste precisamente en incorporar automáticamente 1) durante la fase del diseño de un sistema nuevo, o 2) del análisis y simulacro de un sistema existente, la optimización del empleo de recursos disponibles, incluyendo la minimización de costos.