HIPERIÓN fue un Titán, el dios de la Vigilancia, la Sabiduría y la Luz. VIPERS HIPERIÓN es una aplicación de la metodología VIPERS al campo de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (“OPERATIONS RESEARCH”), también conocido como la CIENCIA EMPRESARIAL o la CIENCIA DE LA GESTIÓN. Empleando problemas y soluciones presentados en diversas fuentes de estudio de la disciplina INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, se creará una versión de la metodología VIPERS capaz de a) representar, en la metodología grafica de VIPERS, los sistemas gestoriales presentados; b) simular dinámicamente las operaciones descritas de esos sistemas; y finalmente c) implementar los mecanismos de optimización propios de los casos y problemas presentados y resueltos.
El
propósito de VIPERS HIPERIÓN es doble: 1) investigar los requisitos y las
herramientas empleados en el campo de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES con los
fines de crear una versión de VIPERS capaz de diseñar, comprobar e implementar
los casos descritos y resueltos en estas fuentes (libros y artículos); y 2)
adaptar los métodos de diseño de sistemas y herramientas derivadas de la
programación de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES al diseño general de la
metodología VIPERS para la simulación, comprobación, y optimización de
sistemas.
VIPERS “HIPERIÓN”: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
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Sub-Proyecto: VIPERS para la
presentación y solución de problemas de “Programación Lineal”
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FUENTES PRINCIPALES:
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CAPÍTULOS
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PÁGINAS
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1. “INTRODUCTION TO
OPERATIONS RESEARCH”
2. “SCHAUM’S OUTLINE
FOR OPERATIONS RESEARCH”
3. “REA OPERATIONS
RESEARCH PROBLEM SOLVER”
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1-3
1-2
1-3
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102
31
119
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PREFACIO: Un fabricante de refrigeradores tiene dos fábricas con las que
abastece a sus tres tiendas minoristas. Al principio de cada mes, el fabricante
recibe de cada gerente de las tiendas una lista de las ventas incumplidas que
deben ser completadas al mes siguiente con nueva producción. Este conjunto de
requisitos representa el número total de nuevos refrigeradores que deben ser
producidos por las dos fábricas. Para simplificar la discusión, suponemos que
el fabricante tiene bastantes recursos – mano de obra, materiales, etcétera –
para abastecer los requisitos, y en esta instancia, no tiene ninguna
sobreproducción, produciendo solamente para la venta; o sea, no tiene
instalaciones para almacenaje. (Nota: la
producción misma podría tratarse vía un modelo matemático, pero nuestros
intereses presentes están en otra área.)
La tienda número
uno del fabricante, designada por T1, requiere 10 refrigeradores, T2
requiere 8, el T3 requiere 7,
para un total de 25 refrigeradores. El Presidente ha decidido producir 11 en la
fábrica número uno, F1, y las restantes 14 en F2. El
problema que deseamos considerar es cuantos refrigeradores deberían ser
enviados de cada fábrica a cada una de las tiendas para minimizar el costo
total del transporte de refrigeradores de las fábricas a las tiendas. La forma
básica de este problema, denominada el “problema del transporte”, es una de las
primeras y más empleadas formulaciones de la programación lineal.
Necesitamos
información adicional con respecto a las restricciones de transporte y costos.
Se supone que es posible enviar cualquier número específico de refrigeradores
de cada fábrica a cualquier tienda; o sea, algún medio de transporte – ferrocarril, avión, u otro – conecta a toda
fábrica a cualquiera de las tiendas. También suponemos un conocimiento de los
costos de envío de un refrigerador de una fábrica a una tienda. Aquí debemos
hacer una suposición de linealidad o proporcionalidad con respecto a estos
costos de transporte que es muy crítica – y en algunos casos bastante debatible.
Esta suposición de linealidad o proporcionalidad requiere que si el costo de
envío de un refrigerador de F1 a T1 sea de $10 entonces
el costo de enviar dos refrigeradores sea de $20, y el costo de tres sea $30, y
así sucesivamente. Podemos debatir esta suposición basado en la experiencia
real, según la cual, por ejemplo, el costo inicial fijo de $100 de arrendar un camión para transportar un
refrigerador (descontando costos de manejo) seria tal que el costo individual
de transportar dos refrigeradores sería de $50 por cada uno, y el de
transportar tres refrigeradores sería de $33 1/3 por cada uno, o sea, una
relación no lineal. No obstante para lo presente problema vamos a suponer una
linealidad o proporcionalidad en los costos de transporte de cada uno de los
refrigeradores.
Para este
problema entonces suponemos que el costo del transporte para un refrigerador
desde una fábrica a una tienda son cantidades conocidas y lineales. Estos
costos se muestran en la siguiente tabla:
Costos de Transporte por cada Refrigerador
de cada una de las dos fábricas a cada una de las tres tiendas
|
Tienda T1
|
Tienda T2
|
Tienda T3
|
Fábrica F1
|
$8
|
$6
|
$10
|
Fábrica F2
|
$9
|
$5
|
$7
|
Buscamos una
solución que cumpla con las restricciones del problema: o sea, 1) enviar 11
unidades de la fábrica F1 y enviar 14 unidades de la fábrica F2;
2) que la tienda T1 ese uno recibe 10 unidades, la tienda T2 recibe
8 unidades, la tienda T3 recibe 7 unidades; y, 3) al mismo tiempo
minimizar el costo total de transporte de las fábricas a las tiendas. La
siguiente tabla combina la información de la tabla anterior con las
restricciones descritas en el presente párrafo.
Tienda T1
|
Tienda T2
|
Tienda T3
|
|||||
Fábrica F1
|
Costo de envío: $8
|
Número: ¿?
|
Costo de envío: $6
|
Número: ¿?
|
Costo de envío: $10
|
Número: ¿?
|
Unidades producidas: 11
|
Fábrica F2
|
Costo de envío: $9
|
Número: ¿?
|
Costo de envío: $5
|
Número: ¿?
|
Costo de envío: $7
|
Número: ¿?
|
Unidades producidas: 14
|
Total requeridas: 10
|
Total requeridas: 8
|
Total requeridas: 7
|
|||||
En las celdas
grises de la tabla anterior queda por determinar el número de refrigeradores
enviados de cada fábrica a cada tienda. Para demostrar que un empleado
cualquiera no tendría dificultades en idear una solución aquí podemos asignar
una serie de números para calcular unos ejemplos de costos de transportes:
Ejemplo 1:
Tienda T1
|
Tienda T2
|
Tienda T3
|
|||||
Fábrica F1
|
Costo de envío: $8
|
Número: 10
|
Costo de envío: $6
|
Número: 1
|
Costo de envío: $10
|
Número: 0
|
Unidades producidas: 11
|
Fábrica F2
|
Costo de envío: $9
|
Número: 0
|
Costo de envío: $5
|
Número: 7
|
Costo de envío: $7
|
Número: 7
|
Unidades producidas: 14
|
Total requeridas: 10
|
Total requeridas: 8
|
Total requeridas: 7
|
|||||
Ejemplo 2:
Tienda T1
|
Tienda T2
|
Tienda T3
|
|||||
Fábrica F1
|
Costo de envío: $8
|
Número: 0
|
Costo de envío: $6
|
Número: 7
|
Costo de envío: $10
|
Número: 4
|
Unidades producidas: 11
|
Fábrica F2
|
Costo de envío: $9
|
Número: 10
|
Costo de envío: $5
|
Número: 1
|
Costo de envío: $7
|
Número: 3
|
Unidades producidas: 14
|
Total requeridas: 10
|
Total requeridas: 8
|
Total requeridas: 7
|
|||||
El lector no
tendrá dificultades ideando otros ejemplos. Los números escritos en cada celda
apropiada de las tablas anteriores de los dos ejemplos propuestos constituyen
soluciones de acuerdo a las especificaciones del problema, con un número total
de refrigeradores enviados desde las fábricas F1 y F2 a
cada una las tiendas. En el ejemplo número uno la fábrica F1
envía 10+ 1 + 0 = 11 refrigeradores a
las tiendas T1, T2 y T3 respectivamente,
mientras que la fábrica F2 envía
0 + 7 + 7 = 14 refrigeradores a las tiendas T1, T2
y T3 respectivamente. En el segundo ejemplo, la fábrica F1
envía: 0 + 7 + 4 = 11 refrigeradores a las tiendas T1, T2
y T3 respectivamente, mientras que la fábrica F2 envía:
10 + 1 + 3 = 14 refrigeradores a las tiendas T1, T2 y T3
respectivamente. A su vez en cada ejemplo el número total de refrigeradores
recibidos por las tiendas T1, T2 y T3 está de
acuerdo a las especificaciones del problema: 10, 8, y 7 respectivamente.
Suponiendo una linealidad (o proporcionalidad) en el costo del transporte en
cada caso, el costo total para las primeras soluciones se calcula mediante las
siguientes expresiones.
Ejemplo 1: $8 x 10 + $6 × 1 + $5 × 7 + $7 × 7 = $170.
Ejemplo 2: $6 x 7 + $10 x 4 + $9 x 10 + 5 + $5 x 1 + $7
× 7 = 198.
Para las
soluciones presentadas la primera tiene un costo menor. Queda por descubrir si existe otra solución
factible de aún menor costo. Un expedidor no empleando las técnicas de
programación lineal para ayudarle en resolver el problema debe confiar
fuertemente en su experiencia e intuición y no comprara exhaustivamente todas
las soluciones posibles – tampoco emplea la metodología de la programación
lineal. Un expedidor escoge una solución en particular pero no puede garantizar
absolutamente que tenga la solución más económica. El enfoque de la
programación lineal ofrece una garantía incondicional de que el costo mínimo
será determinado. Para el problema del
transporte de los refrigeradores la primera solución es la más óptima.
Para continuar
con el desarrollo de un modelo matemático del transporte y para simplificar la
discusión unas abreviaciones matemáticas son necesarias. Dejemos que x11
sea el número desconocido de refrigeradores para ser enviados de la fábrica F1
a la tienda T1; x12 el número desconocido de
refrigeradores para ser enviados de la fábrica F1 a la tienda T2,
etc. En general xij representa el número desconocido de
refrigeradores para ser enviados desde la fábrica Fi a la tienda Tj.
Aplicando estas anotaciones a la estructura de la tabla empleada anteriormente,
nos quedamos con:
Tienda T1
|
Tienda T2
|
Tienda T3
|
|||||
Fábrica F1
|
$8
|
x11
|
$6
|
x12
|
$10
|
x13
|
Unidades: 11
|
Fábrica F2
|
$9
|
x21
|
$5
|
x22
|
$7
|
x23
|
Unidades: 14
|
Total requeridas: 10
|
Total requeridas: 8
|
Total requeridas: 7
|
|||||
En total enviado
de la fábrica F1 es 11 y los las cantidades en día desde F1
a las tres tiendas son X11, X12, y X13,
respectivamente. Similarmente el total enviado desde F2 es 14 y los
envíos desde F2 son X21, X22, y X23.
Puesto que el fabricante requiere un total de 25 unidades (10 + 8 + 7) y puesto
que están fabricando exactamente 25 unidades (11 + 14), el total fabricado en
cada fábrica debe ser enviado a las tiendas. El total enviado por F1
se describe por la siguiente ecuación:
F1 = x11 + x12 + x13 = 11.
Y el total
enviado decir desde F2 es:
F2 = x21 + x22 +
x23 = 14.
Estas cifras son
obtenidas al sumar cada fila de la tabla anterior. Puesto que cada tienda
deberá recibir exactamente el número de refrigeradores pedidos, las cantidades
enviadas a cada tienda – se encuentran al sumar las columnas – son descritas
por las siguientes ecuaciones:
x11 +
x21 = 10 para la tienda T1; y
x12 +
x22 = 8 para la tienda T2; y
x13 +
x23 = 7 para la tienda T3.
Para cualquiera
de los números xij, la i representa cada una de las fábricas y la j
cada una de las tiendas; el costo total – la suma de los costos de cada uno de
los envíos individuales – de igual a:
$8x11 + $6x12 + $10x13
+ $9x21 + $5x22 + $7x23.
Estas ecuaciones
representan las restricciones básicas del modelo matemático. El único elemento
que falta es que debemos limitar los valores posibles de xij a
valores positivos o a cero. Una xij negativa representaría un envío
de refrigeradores de la tienda a la fábrica; o sea, representaría que sería
introducida una fuente de refrigeradores además de aquellas producidas en la
fábrica. Eliminamos esta posibilidad al restringir x11 >= 0, x12 >=
0… x23 a >= 0, o en
general la anotación, xij >= 0. Estas son las restricciones de no
negatividad de la programación lineal. Puesto que queremos determinar el
conjunto de números xij que satisface las ecuaciones, las
restricciones de no negatividad y que minimicen el costo total, debemos tener
el siguiente modelo matemático – el modelo de programación lineal de este
problema del transporte:
Encuentra el
conjunto de números xij > = 0 que minimicen:
$8x11 + $ 6x12 + $10 x13
+ $9x21 + $5x22 + $7x23.
Sujeto a las
siguientes restricciones:
TABLA DE RESTRICCIONES PARA RESOLVER EL
PROBLEMA DEL TRANSPORTE DE REFRIGERADORES
|
|||||||
x11
|
x12
|
x13
|
x21
|
x22
|
x23
|
||
x11
|
+ x12
|
+ x13
|
=
|
11
|
|||
x21
|
+ x22
|
+ x23
|
=
|
14
|
|||
x11
|
+ x21
|
=
|
10
|
||||
x12
|
+ x22
|
=
|
8
|
||||
x13
|
+ x23
|
=
|
7
|
||||
La primera
solución ofrecida satisface estas ecuaciones, donde x11= 10, x12 = 1, x13 = 0, x21=
0, x2= 7, y x23 =
7, y como se indicó en anteriormente, la solución minimiza la función objetiva
con un valor de $170.
Cada fábrica o
tienda contribuyeron una ecuación en términos de las variables relacionadas a
la fábrica o tienda correspondiente. Las funciones objetivas son ecuaciones
lineales puesto que son simplemente sumas de las variables. El número total de
variables es el producto del número de fábricas y el número de tiendas; en este
caso 2 × 3 = 6. También, el número de ecuaciones es la suma del número de
fábricas y del número de tiendas; aquí es cinco. Los problemas de transporte
puede ser muy grandes, pero los procedimientos computacionales – algoritmos –
para resolver problemas más bien grandes están disponibles para la mayoría de
los computadores electrónicos.
Desde un punto de
vista matemático hay un número de puntos que deberían ser indicados sobre el
sistema de ecuaciones anterior. Para comenzar, hay una ecuación de más en el
sentido de que una de ellas está implícita por las restantes. Por ejemplo,
podemos dejar aparte la primera ecuación, ya que puede lograrse sumando las
últimas tres después restando la segunda. Otro punto importante, sin embargo,
es que si resolvemos el programa usando los procedimientos computacionales
normales de la de programación lineal, determinaremos una solución óptima cuyos
valores de las variables, las xijs consisten de números enteros. Se
supone tácitamente que las xijs deberían ser números enteros – no
podemos enviar 3 y ¾ partes de un
refrigerador…
Aunque hemos
descrito este modelo de programación lineal en términos de fábricas, tiendas, y
refrigeradores, es muy importante reconocer que lo podíamos haber representado
de una forma más general tratando de orígenes (fábricas), destinos (tiendas),
unidades homogéneas para ser enviadas (refrigeradores), y alguna medida para
hacer minimizado (el costo total de transporte).
ESPECIFICACIONES:
La adaptación de VIPERS, conocida como
“VIPERS HIPERIÓN”, a una categoría de problemas perteneciente al campo de la
Investigación de Operaciones requiere las siguientes especificaciones:
1. El problema será extendido, para
los propósitos del diseño y del simulacro, a varios meses de pedidos de
refrigeradores para ser distribuidos a las tiendas antedichas. A cada turno de
un mes, el usuario podrá someter sus “pedidos” para el mes que viene y ver como
la dinámica del sistema se ajusta de acuerdo a la optimización apropiada de las
variables.
2. Una representación gráfica del
diseño del sistema que corresponde a una solución del problema presentado anteriormente
como “EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE DE REFRIGERADORES”. Dicha representación visual
tiene que captar, de forma intuitiva, la estructura esencial del problema en cuestión
y de las variables determinantes de la solución especifica, es decir, debe
permitir a una persona inexperta al diseño de sistemas una comprensión, acompañada
de poca descripción verbal, de los componentes del sistema (las fábricas, las
tiendas, y los refrigeradores), de las constantes, y de las variables sujetas a
la ecuación optimizadora.
3. La representación gráfica de la “ejecución”
o simulacro dinámico del sistema debe representar dinámica el funcionamiento del
diseño mediante una presentación visual de la optimización de las variables de
acuerdo a las exigencias de las tiendas correspondientes a cada pedido mensual.
4. El sistema también deberá proveer
una forma sencilla de modificar los parámetros (las supuestas “constantes” del
problema) para observar como éstos afectan también los resultados de las
optimizaciones correspondientes.
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